Kleingeld bei anderer Sparkasse einzahlen?

nein, das geht leider nicht. Jede Sparkasse ist eine eigene Bank - die Sparkasse ist lediglich die übergeordnete Institution, aber jede Sparkasse ist rechtlich eigenständig. 

Prinzipiell kannst du - gegen Zahlung einer Gebühr - eine Barüberweisung an ein anderes Institut (also auch von Sparkasse A zu Sparkasse B) tätigen. Das wird voraussichtlich jedoch nicht mit (viel) Kleingeld funktionieren. Die Annahme und die Verarbeitung für Kleingeld ist für Banken üblicherweise relativ teuer und wird insofern nur den institutseigenen Kunden als Service-Leistung (teilweise gegen Gebühr) angeboten. Als Fremdbanken-Kunde hast du da leider schlechte Karten (auch wenn es eine Sparkasse ist).

Sparkassen sind rechtlich selbständig. Das gilt als nicht als Einzahlung, sondern als Überweisung und Überweisungen durch Bareinzahlung am Schalter sind regelmäßig sehr teuer.

Ob man Dir das Kleingeld abnimmt, hängt von der Menge ab. Bei größeren Stückzahlen wird manchmal verlangt, die gerollt abzugeben. Dann stehst Du vor dem Problem, Dir erst mal Münzrollenpapier kaufen zu müssen.

Nein, kostenlose Einzahlungen auf das eigene Konto sind nur bei der kontoführenden Sparkasse möglich.

nein kosten tut es nichts. Auch mit der Einzahlung müsste es klappen. Die meisten größeren Bankern haben aber Computer, bei denen du das Geld einlesen lassen kannst und es auf dein Konto schicken.