Katze angefahren, Streit jetzt über Tierarzt-Rechnung

Hallo Leute, letzte Woche haben wir eine Katze angefahren. Es war kurz vor 20 Uhr Abends und außerorts auf einer Landesstraße die viel befahren wird. Hinter uns waren ebenfalls 2 PKWs. Tempolimit war auf 70km/h begrenzt. Wir waren gerade beim Beschleunigen so ca. 65-70kmh drauf, als uns ein Kater von links nach rechts huschend vor dem Auto lief. Meine Frau hielt geistesgegenwärtig drauf und bremste nicht ab. Am Auto waren erstmal keine Schäden erkennbar. Das Tier lag leblos auf der Straße war aber noch in ganzen Teilen vorhanden. Der nachfolgende Fahrer stieg aus und trug das Tier an den Fahrbahnrand. Wir sind ebenfalls ausgestiegen und haben den Kater aufgesucht. Nachdem wir bei Tiernotrettung, Feuerwehr und Polizei angerufen haben, hat sich eine Polizeistreife erbarmt und das Tier zu einem Tierarzt gebracht. Personalien usw. wurden aufgenommen. Jetzt möchte die Halterin (konnte herausgefunden werden) uns den Tierarzt in Rechnung stellen (Beckenbodenfraktur, aber wird überleben, bzw. Folgekosten mit Therapie usw.). Die Halterin wohnt direkt an der Landesstraße. Jetzt bricht hier so bissle der Streit aus. Mir ist klar, dass es sich um Sachbeschädigung handelt, doch meine Frau konnte nicht mehr anders handeln und hat draufgehalten (wie man es halt lernt). Muss sich die Halterin bewusst sein und auch in Kauf nehmen, wenn sie an einer vielbefahrenen Landesstraße wohnt, dass das Tier auch mal angefahren werden kann? Bzw. was hat das Tier Abends auf der Straße in Dunkelheit zu suchen? Rechtsschutzvers. meint wir müssten zahlen. KfZ-Haftpflicht behauptet das Gegenteil.

Wie würdet ihr euch verhalten? Wenn wir hier mit Beträgen belangt werden, ist das ein Armutszeugnis für Erste Hilfe Leistungen, kein Wunder dass dann Leute in Zukunft einfach weiterfahren. Typisch Deutschland.