Kann ich Rechnung auch als Quittung benutzen in dem Beispiel wenn der Kunde bar bezahlt und ich in die Rechnung schreibe “ Betrag dankend in bar erhalten“?

Ja natürlich kannst du auch Barzahlung annehmen.

Beim Scheck quittierst du nur den Erhalt des Schecks. Die Gutschrift des Betrags ergibt sich dann auf dem Kontoauszug,

Ja klar!

Und bei Zahlung mit Scheck würde ich das extra vermerken.

Solange du nicht weißt ob der Scheck gedeckt ist, würde ich das nicht machen

Ja. Betrag per Scheck oder bar erhalten.

Ja, das geht, kein Problem.