Kann ich direkt mit der Versicherung verhandeln?

Das kommt darauf an ob ein sog. Direktanspruch für dich als versicherte Person im Vertrag vereinbart wurde. Aber basierend auf der Auskunft der Versicherung wird das wohl nicht der Fall sein. Daher ist Ansprechpartner für die Versicherung der Versicherungsnehmer, also die Firma. Diese wird vermutlich sogar die Versicherungsleistung ausgezahlt bekommen und kann diese dann an dich weiterreichen.

(In der Konstellation muss auch ein Teil der Leistung versteuert werden, aber das nur nebenbei)

Bei einer Gruppenunfallversicherung handelt es sich um einen Vertrag zugrunsten Dritter. §179 VVG. Diese Bestimmung verweist auf § 44VVG. Danach kann der Versicherte Rechte aus dem Vertrag selbst geltend machen.

Das gilt vorallem dann, wenn er -wie von Ihnen angegeben - namentlich benannt ist.

Gerade bei Ansprüchen aus einem Versicherungsfall bedarf es keiner Mitwirkung des VN, hier der Firma.

Bei Insolvenz des VN hat der Versicherte im Schadenfall selbst einen Aussonderungsanspruch. LG Köln 26 O 213/13 , OLG Köln im gleichen Verfahren 20 U 100/14 mit weiteren Nachweisen.

Es kommt darauf an welcher Vertrag damals geschlossen wurde. 

Es gibt 2 Arten... (Gruppenunfall)

...a) mit "Direktanspruch = Du kannst selbst mit der Versicherung verhandeln

b) OHNE Direktanspruch  = Der Arbeitgeber muss alles übernehmen .

Versicherungsnehmer ist in dem Fall die Firma. Dann verläuft auch der Schriftverkehr darüber.

Natürlich erhält die Firma KEINE Diagnosen.

Es ist sogar ein Konstrukt denkbar, dass die Firma einen Teil der Leistung bekommt.

Du bist nicht Vertragspartner der Versicherung, somit gar nicht.