Kann ich das so schreiben? Wie muss so ein Antrag aussehen?

Ich würde 4 Kommas weglassen, aber sonst o.k.

"Hiermit möchte ich einen Bildungsgutschein für ein sechsmonatiges Vorpraktikum beantragen. Dieses Vorpraktikum ist notwendig, um die Voraussetzungen für die Aufnahme in die Fachschule für Sozialwesen zu erfüllen."

Ich finde das gut so. Es fehlt nur die Anrede (" Sehr geehrte Damen und Herren" oder der Name der Person) und evtl. auch der genaue Zeitraum, wann du das Praktikum machst.

Am Schluss vielleicht noch: Ich bedanke mich im Voraus. Mit freundlichen Grüßen, ...

Ja, kannst Du, nur hast Du 4 Kommata zuviel gesetzt. Das richtige Komma steht  vor "um".