Kann ich Arbeitgeber Kilometer in Rechnung stellen?

Ja, du kannst für Fahrten von deiner Arbeitstselle zu einem betrieblich bedingten Kundeneinsatz die volle Strecke, also Hin- und Rückfahrt mit 0,30 EUR/km in Rechnung stellen. Dazu gibt es im einschlägigen Handel Vordrucke zur Fahrtkostenabrechnung. Du musst das nicht versteuern und der AG kann das als Betriebsausgaben absetzen.

Das Privat-KFZ zu benutzen, kann vom AG nicht verpflichtend angeordnet werden. Das ist letztlich freiwillig von dir.

Machst du auf dem Hin- oder Rückweg zur Arbeit Besorgungen für den AG, darfst du die Mehrkilometer gegenüber der direkten "Heimfahrt" ebenfalls in Rechnung stellen.

RudiRatlos67 hat im Großen und Ganzen alles gesagt.

Aber zusätzlich nur so als Tipp:

Weise deinen Arbeitgeber mal darauf hin, dass bei Kaskoschäden am Privatfahrzeugen, die zu Firmenzwecken eingesetzt werden, immer der Arbeitgeber die Kosten vollumfänglich tragen muss.

Die Kosten für Haftpflichtschäden (samt Folgekosten wie etwas Mehrbeitrag
der versicherung) sind vollends abgegolten, wenn eine Kilometerpauschale von 30 Cent je Kilometer bezahlt wird.

Ich habe bei mir das Fahren mit Privatfahrzeugen verboten. Zumindest für diejenigen, für die ich keine Dienstreisekasko abgeschlossen habe. Der Rest muss zwingend Firmenwägen verwenden.

Du schuldest dem Arbeitgeber deine Arbeitskraft für die vereinbarten Arbeitsstunden, nicht weniger aber auch nicht mehr.  Den Weg zur Arbeitsstätte kannst du als Werbungskosten in der Steuererklärung mit 0,33 € je km einfache Fahrt geltend machen. Fahrten zwischen Betriebsstätte und Einsatzort können ebenfalls entweder steuerlich mit 33 ct. Je gefahrenen km (also Hin- und Rückfahrt) steuerlich geltend machen oder von deinem Arbeitgeber erstatten lassen.  Die Abrechnung über den Arbeitgeber kann bis maximal den tatsächlichen kosten (incl Abschreibung, Wartung, Verschleiß, Reparaturen usw. ergeben sich daraus sehr viel höhere Beträge bis zu 1 oder 2 Euro je km)  erfolgen oder pauschal mit zb. 33 ct/km. Für den Arbeitgeber sind alle Kosten die er übernimmt gleichzeitig Betriebsausgaben die er steuerlich geltend macht.
Bei gelegentlichen Fahrten kann man sicherlich die Geltendmachung über Werbungskosten akzeptieren,  aber bei regelmäßiger Einwatzwechseltätigkeit  würde ein merklicher Einkommsverlust entstehen den man seinen Mitarbeiter nicht aufbürden kann und daher als Arbeitgeber tragen sollte.

Wie schon gesagt, der Arbeitgeber sollte die Kosten erstatten.  Wenn deine Auswärtstätigkeit länger als 8 Stunden dauert (inkl. An und Abfahrt), dann kannst du zusätzlich noch Verpflegungsmehraufwand geltend machen. 

Sollte dein Arbeitgeber dir diese Kosten aus irgendeinem Grund nicht erstatten, kannst du sie in deiner Steuererklärung geltend machen.

Spreche mit deiner Buchhaltung, für Außeneinsätze kannst du Spesen abrechnen, d. h. da werden anteilige Kosten für das Fahren mit dem eigenen Fahrzeug, als auch je nach Zeit Unterkunft und Verpflegung mit Pauschalsätzen abgerechnet.