Ist es erlaubt in einem Livestream (auf Instagram,Facebook, Youtube usw.) Radio im Hintergrund laufen zu lassen. Oder darf man das nicht wegen den Urheberrecht?

Auch Hintergrundgeräusche sind natürlich Bestandteil deines Videos und könnten somit bei Veröffentlichung eine Urheberrechtsverletzung sein. Daher dann besser das Radio auslassen.

Ich glaube auf Twitch darf man fast alles wenn du genug drüberredest, Google/YT will das dann trotzdem nicht. Einfach mal die Nutzungsbedingungen der jeweiligen Seiten durchlesen.