Gibt es eine "Auszugsfrist"

Da du deine Miete bis einschließlich 30.4. gezahlt hast, hat in dieser Wohnung vorher niemand etwas zu suchen. Höchstens für eine Abnahme der Wohnung. Wenn du früher ausziehen sollst, muss die Hausverwaltung deine Miete entsprechend zurück zahlen.

Jetzt hat mein Hausmeister mir erzählt, dass es gesetzlich vorgeschrieben ist, dass ich fünf Tage vorm Monatsende aus der Wohnung raus sein muss. Bzw. mein Nachmieter fünf Tage vorm ersten die Möglichkeit haben muss einzuziehen. Ist das so??

Dann soll er mal einen Gesetzestext zeigen.

Du kannst ihm mal sagen er soll mal nach dem §  546 Abs 1 BGB googeln.

Wenn er will, dass Du vorher raus sollst, dann soll er oder der Vermieter Geld geben.

Das ist ganz gewiss nicht so rechtens. Du musst lediglich bis zum Ende der Kündigungsfrist die Wohnung geräumt haben. Das kannst du freiwillig eher, musst das aber nicht. Ein Rechtsanspruch besteht weder für Nachmieter noch Vermieter für den frühzeitigen Auszug.

Dann lass Dir von dem Hausmeister die gesetzliche Bestimmung zeigen;-)

Oder anders rum, halte dem oberschlauen Hausmeister das hier unter die Nase:

BGB § 546

(1) Der Mieter ist verpflichtet, die Mietsache nach Beendigung des Mietverhältnisses zurückzugeben.

Wenn Du die Miete bis zum Letzten des Monats bezahlt hast, musst Du erst an diesem Tag raus. Oft ist das Problem, dass der Vermieter den Neuen schon am Ersten drin haben will um die Miete ohne Einbußen weiter zu kassieren, aber das ist sein Problem.