Dürfen Eltern es verbieten das das kind (13 jahre) raus darf ...es ist kein hausarrest sondern nur weil die Mutter angst hat?

Nein dürfen sie nicht. Wenn das Kind nie vor die Tür darf, außer zur Schule und wieder zurück, dürfen sie das nicht! Hausarrest ist nicht mit grundlosem einsperren zu vergleichen.

Nur weil es die Eltern sind, haben sie noch lange nicht alle Rechte. Das Kind ist kein Eigentum wie ein Gegenstand.
Man kann seine Kindheit und Jugend nicht eingesperrt nur im eigenen Haus/Wohnung verbringen. Man lässt das Kind somit nicht am sozialen Leben teilnehmen.

Man sollte mit der Mutter reden und eventuell psychologische Hilfe dazu holen, weil normal ist es ehrlich gesagt nicht.
Und das wird auch nicht nachlassen. Das Kind kann Pech haben, bis es 18 Jahre alt ist.

Leider gibt es einige Eltern/Elternteile die unter einem Kontrollzwang, Verlustängste etc. leiden. Und das Kind keine eigenen Erfahrungen machen lassen.

Ja dürfen sie . Sie haben eine Aufsichtspflicht . 

All dies regelt die elterliche Aufsichtspflicht. Sie ist ein Teil der in § 1631 BGB geregelten Personensorge und der elterlichen Fürsorgepflicht, die ganz allgemein das Recht und die Pflicht von Eltern umfasst, ihre Kinder zu pflegen, zu erziehen und zu beaufsichtigen. Die Aufsichtspflicht verfolgt grundsätzlich zwei Ziele: Minderjährige sollen vor Schäden bewahrt werden, die sie sich selbst oder die ihnen Dritte zufügen können. Andersherum sollen aber auch Dritte vor Schäden, die ihnen durch die „Gefahrenquelle Kind“ drohen können, geschützt werden.

Eine Verletzung der Aufsichtspflicht kann sowohl strafrechtlich wie zivilrechtlich weit reichende Konsequenzen nach sich ziehen. Verursacht ein Kind einen Schaden oder verletzt es sich, müssen die Eltern beweisen, dass sie ihre Aufsichtspflicht korrekt erfüllt haben. Bei Unfällen tritt zwar zunächst die Krankenversicherung ein, doch die erhebt Regressansprüche, wenn Eltern ihrer Aufsichtspflicht nicht nachgekommen sind. Hüten die Großeltern, Freunde oder eine Tagesmutter das Kind, übernehmen sie damit automatisch auch die Aufsichtspflicht. Das gilt auch beim Kindergeburtstag: Die Eltern des Geburtstagskindes haften nicht nur für den eigenen Sprössling, sondern auch für die kleinen Gäste.

Aber ;

Doch wie soll ein Kind selbständig werden und Verantwortung für das eigene Verhalten übernehmen können, wenn Vater und Mutter es auf Schritt und Tritt verfolgen? Das Aufsichtsrecht stellt Eltern vor ein Dilemma: Einerseits müssen sie ihren Sprösslingen Freiräume gewähren, damit diese lernen, mit Risiken und Gefahren umzugehen. Andererseits müssen sie ihre Kinder und Außenstehende vor möglichen Schäden schützen. Und selbst die fürsorglichsten Eltern können ihre Augen nicht überall haben. Wie viel Kontrolle ist also nötig, wie viel ist angemessen? Wie sehen die gesetzlichen Richtlinien aus?

natürlich nicht du kannst eventuell das Jugendamt informieren !!

rede nochmal mit deiner Mutter 

Es richtet sich nach Deinem Benehmen , was Deine Eltern Dir gestatten , oder was sie Dir verbieten ! Beweise ihnen , dass sie  Vertrauen zu Dir haben können .

Informiere dass Jugendamt das ist Freiheitsberaubung. Das geht nicht