Antrag stellen um einen Zaun zu bauen - Was soll ich schreiben?

Das Schreiben kann ganz formlos sein.

Du solltest angeben, wo das Grundstück liegt (die genaue Adresse), wer der Grundstückseigentümer ist, wenn du es weißt, Flurnummer und Flurstücksnummer, beides steht im Grundbuchauszug, den der Grundstückseigentümer haben sollte.

Dann solltest du angeben, was für ein Zaun das ist (Holzzaun, Maschendrahtzaun, Jägerzaun, Staketenzaun = aus einzelnen Holzpfählen, der klassische Bilderbuchzaun).

Als letztes und wichtigstes Detail die Höhe des Zaunes. Ich weiß nicht, in welchem Bundesland du wohnst, denn das regeln die Bauordnungen der einzelnen Bundesländer, wie hoch ein Zaun ("Einfriedung" im Behördendeutsch) sein darf. Mit maximal 1,60 m Höhe liegst du in Nordrhein-Westfalen und Hessen richtig. Maximal 1,80 m Höhe gestehen dir Sachsen-Anhalt und Niedersachsen zu. Wenn der Zaun höher sein soll, muss er um das Differenzmaß (Zaunhöhe - 1,60 m) von der Grundstücksgrenze entfernt auf eurem Grundstück stehen.

Vielleicht noch Zeitpunkt der Baumaßnahme, für die Behörde Zeitpunkt der Errichtung der Einfriedung.

Das sollte es gewesen sein.

Normalerweise muss man eine Behörde nicht davon benachrichtigen, dass man einen Zaun errichtet. Liegt euer Grundstück vielleicht an einer Straßenkreuzung und ihr müsst ein so genanntes Sichtdreieck freihalten, dass die Autofahrer gucken können, wer von rechts kommt?

Nichts.

Dafür braucht man keine Genehmigung.