Abbildungen auf Surjektivität, Injektivität, Bijektivität prüfen?

Hi,

ich schreibe die Spaltenvektoren als Zeilenvektoren, das ist zum schreiben bequemer.

f : ℝ² → ℝ²,  mit  f((x;y)) = (f₁(x;y); f₂(x;y) = (xy+x; x-1)

Eine Möglichkeit ist, die Definition von injektiv und surjektiv direkt zu nutzen und zu untersuchen, wo Probleme auftauchen können.

Injektivität

Das Tupel (0;0) wird durch f abgebildet auf (0; -1) .
Das Tupel (0;1) wird durch f abgebildet auf (0; -1)

Zwei verschiedene Elemente aus ℝ² haben also durch f das gleiche Bild,
also ist f nicht injektiv. Deshalb kann f auch nicht bijektiv sein.

Surjektivität

Ist jedes Element aus ℝ²  Bild von f ?

Behauptung:  (1; -1)  ist nicht Bild von f.

Wäre (1; -1) Bild von f, so müsste gelten: f₂(x;y) = -1  <=>
x - 1 = -1  <=>  x = 0

Es muss also notwendigerweise x = 0 gelten. Daraus folgt für f₁ :

f₁(0;y) = 0•y+0 = 1  <=>  0 = 1  Widerspruch.

(1;-1) ∈ ℝ²  ist also nicht Bild von f. Also ist f nicht surjektiv.

Gruß