Ab welchem Betrag fragt das Finanzamt/Bank nach woher das geld kommt??

Dafür gibt es keine Grenze.

Wer ab € 10.000 auf eine fremdes Konto einzahlt, muss sich ausweisen, das träfe ja nicht zu.

Ansonsten gilt:
In Deutschland haben Banken und dergleichen auch bei einem Verdacht eine Meldepflicht. Somit muss aufgrund des Geldwäschegesetzes auch auf Verdacht eine Anzeige gestellt werden, die dann aber wieder
fallengelassen werden kann, wenn sich dieser Verdacht nicht bestätigt.

Es ist zwar eher unwahrscheinlich, dass es auffallen würde, da €1.000 pro Monat im Vergleich nicht so ein riesiger Betrag ist, aber wenn die "Frau am Schalter" die regelmäßigen Einzahlungen sieht und den Verdacht hat, dass es sich um Schwarzgeld handelt, wäre sie auch bei diesen "kleinen" Beträgen zu einer Meldung verpflichtet.

Das Finanzamt erfährt zunächst nichts von den Einzahlungen. Erst wenn es eine Meldung von der Bank erhielte, würde es bei Dir nachfragen.

Aber wenn es sich nicht um Schwarzgeld handelt, muss man sich ja ohnehin keine Sorgen machen.

Das ist der Bank/Sparkasse einerlei. Erst ab Bareinzahlungen von 10.000 Euro (oder 20.000, genau weiß ich es nicht) ist das Kreditinstitut gehalten, das weiterzumelden.

Hängt zusammen mit dem Geldwäschegesetz.

auf dein eigenes Konto ist das ganz egal. Da wird nicht nachgefragt.

Wenn du auf ein fremdes Konto einzahlst, dann musst du dich ausweisen. 

Wenn du keine Steuererklärung machst 

Intresiert es keiner woher du das Geld hast