Wenn ich einen Bausparvertrag an einen Verwandten übertragen will, werden dann die Daten an das Finanzamt bzw. andere Ämter gemeldet?

Nein.

Prämien werden am Ende einer 7-jährigen Bindungsfrist oder bei Zuteilung des Bausparvertrages vom Finanzamt auf das Bausparkonto überwiesen.

Wurden für den BSV Prämien beantragt?

Vermutlich wurde dann von der Bausparkasse die Steuer-ID an das FA weiter geleitet. Vorstellbar, dass eine Vertragsänderung dann ebenfalls gemeldet wird.