Teilzeit Job als Uni-Donzent in DE + Teilzeitjob in Österreich?

Hallo zusammen, ich wohne derzeit in Deutschland aber ich habe vor, nach Wien zu ziehen. Momentan bin ich Lektor an einer deutschen Universität (50%) und möchte einen zweiten Job (50%) in Österreich annehmen. Da ich nur 2 Tage in der Woche unterrichten muss, würde ich zwischen Deutschland und Österreich pendeln. Die Personalabteilung von meiner Universität meinte, da ich im öffentlichen Sektor arbeite, muss ich mein Einkommen in DE versteuern. Drei fragen hätte ich:
1. Darf ich den zweiten Job in Österreich annehmen?
2. Darf man das eine Einkommen in DE und das zweite in Ö versteuern?
3. Gibt es sowas wie eine "Steuerklasse 6" in Österreich, bei doppelte Arbeitsbeschäftigungen? (Würde dies mein zweites Einkommen in Ö stark reduzieren?)
Vielen Dank für euere Hilfe!