In meinem Vertrag steht, dass der Lohn am Monatsanfang überwiesen wird. Bis wann darf der Arbeitgeber das Geld überweisen?

Rechtlich ist gegen diese Regelung nichts einzuwenden. Monatsanfang bedeutet im rechtlichen Sinne, dass die Überweisung während der ersten 5 Bankarbeitstage angestoßen worden sein sollte.

Womöglich hängt die Zahlung Deines Lohnes auch von der Datenerfassung des Vormonats ab und die Abrechnung wird durch ein externes Dienstleistungsunternehmen durchgeführt. Aus der kompakten Fragestellung sind hier keine Details zu entnehmen.

Bezieht man sich auf § 192 BGB ist "Monatsanfang" mit dem ersten Tag des Monats definiert.

Die vertragliche Formulierung "überwiesen" hat jedoch den faktischen Nachteil, dass eine Überweisung erst am ersten Arbeitstag des Monats erfolgen kann. Gerade wenn der 1. des Monats ein Feiertag oder Sonntag ist, ist das ziemlich blöd für den Zahlungsempfänger, der ja dann auch noch mindestens einen Bankarbeitstag auf den Eingang des Geldes warten muss.

Geht man also davon aus, dass der Arbeitgeber vertragsgemäß gestern (1. Arbeitstag) überwiesen hat und rechnet man den heutigen Tag als Bankarbeitstag hinzu, sollte morgen das Geld auf dem Konto sein.