Darf eine zweckgebundene Spende an einen Verein durch Einsicht in Kontoauszüge überprüft werden?

Gemeinnützige Vereine müssen sich sowieso jedes Jahr prüfen lassen, um die Gemeinnützigkeit zu erhalten.

Man braucht also nur Einsicht in diesen Bericht zu erbitten. Für eine städtische Institution gar kein Problem.

können die Konten gemeinnütziger Vereine in bestimmten Fällen (z.B. wie oben) von Nichtvereinsmitgliedern eingesehen werden?

Nein, können sie nicht. Wo sollte da die Rechtsgrundlage sein.

Hat das Bezirksamt das Recht, die Kontoauszüge des Vereins einzusehen, um zu überprüfen, ob die Sondermittel für den Zweck verwendet wurden, für die sie beantragt wurden?

Das ist eine ganz andere Sache. Hier geht es nicht um "Spenden", sondern um zweckgebundene Zuwendungen. Mit absoluter Sicherheit werden die nicht durch simple und ohne jede Vereinbarung erfolgte Überweisung zugewendet. Da werden die Verwendungszwecke vertraglich vereinbart und es wird mit ebensolcher Sicherheit vereinbart, dass es Kontrollrechte gibt.

Generell können die Konten nicht von Dritten eingesehen werden, auch nicht zur Überprüfung der Erfüllung einer Zweckbindung.

Bei der Zuwendung der zweckgebundenen Mittel wird i.a. vereinbart, in welcher Form ein Nachweis über die Mittelverwendung zu erfolgen hat. Das wäre beispielsweise eine Bestätigung des Prüfers im Rahmen eines Geschäftsberichts oder eine Vorlage entsprechender Rechnungen. Noch einfacher: die Mittel werden oft nicht ausgezahlt, sondern nur allokiert. Will der Verein dann die Mittel nutzen, um bestimmte Rechnungen zu bezahlen, werden diese dem Sponsor vorgelegt, der die Zahlungen dann anweist. Insbesondere bei größeren Projekten ist dies zur Sicherung der Zweckbindung ein einfaches Mittel.