Hausinterner Umzug, muss ich alten MV trotzdem kündigen?

Ich kann dir empfehlen dieses niemals nur mündlich zu machen. Du kannst es später einfach nicht beweisen. Verlange für die neue Wohnung einen neuen Mietvertrag (irgendwo müssen ja die Kosten auch geregelt werden), welcher mit einem Aufhebungsvertrag oder Kündigung der alten Wohnung kombiniert wird (meinetwegen auch zwei getrennte Verträge). Frage den Vermieter einfach, wie ihr das regeln wollt.

Empfehlung: Mit dem Vermieter sprechen und sein mündliches Einverständnis sofort schriftlich bestätigen. Handele stets nach der uralten Lebensweisheit: "Wer schreibt, der bleibt."