Ich bin ja immer eher für gütliche Einigungen.
Wäre die Dame denn dazu in der Lage, Miete zu bezahlen? Wenn es der Wunsch Deines Vaters war, dass sie in dem Haus bleiben kann (wie alt ist sie eigentlich?), dann würde ich das evtl. auch respektieren. Sie war ihm schließlich in seinen letzten Jahren am nächsten und hat ihn auch versorgt am Ende.
Aber ich würde jedenfalls nicht noch draufzahlen durch Grundsteuer, ALG-Rückzahlung etc.. Durch eine zukünftige Mietezahlung wäre das ja evtl. o.k..
Wenn sie aber nur z.B. 300,-€ Kaltmiete zahlen könnte, die Miete aber eigentlich bei z.B. 600,-€ liegen könnte und sie außerdem erst z.B. 60 Jahre alt ist, dann würde ich das eher nicht machen.
Zur eigentlichen Frage:
Das halbe Haus gehört ohnehin Deiner Mutter. Die andere Hälfte hast Du als Alleinerbin geerbt. Selbst wenn die Dame jetzt mit dem Testament öffentlich kommen sollte, hättest Du Anspruch auf Dein Pflichtteil, das wäre ein Viertel des Hauses (abzüglich Deines Anteils an den 4.000,-€ Schulden und der anderen Ausgaben).
Dir und Deiner Mutter gehören also im schlechtesten Fall 75% des Hauses. Aber eigentlich und offiziell gehören Dir und Deiner Mutter das ganze Haus.
Desweiteren könntest Du in dem Fall, dass die Dame das Testament wirklich öffentlich macht und Deinen Erbschein sowie die Grundbucheintragung angreift, das Testament anfechten. Unter Morphiumgabe, pflegerisch abhängig von der Begünstigten, da sehe ich gute Chancen, auch wenn ich natürlich keine Juristin bin.
Aber so sicher ist sie sich wohl gar nicht, dass das Testament rechtmäßig zustande gekommen ist, oder ihr ist klar, dass mindestens 75% des Hauses Dir und Deiner Mutter gehören, selbst wenn das Testament anerkannt wird.